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根據定義，網格是由單元格和點組成的網絡。它幾乎可以有任何大小的任何形狀，用于求解偏微分方程。網格的每個單元格代表方程的一個單獨解，當對整個網絡進行組合時，會產生整個網格的解。

由于對象內部的復雜性，解決整個對象而不將其分成更小的部分是不可能的?？住⒔呛徒菚菇馑闫鳂O難獲得解。另一方面，小蜂窩相對容易解決，因此是首選策略。

歷史簡介

網格和網格劃分技術的歷史與數值方法的歷史密切相關。Courant、Friedrichs 和 Lewy 的論文可以說是有限差分法 (FDM) 的基本起點，其中引入了 CFL（Courant-Friedrichs-Lewy）穩定性條件等概念。

從歷史上看，矩形和笛卡爾網格與有限差分相關聯，因為它依賴于相鄰的單元格和節點來近似變量的行為。然而，有限元方法 (FEM) 允許使用混合類型的網格單元，從而使非結構化網格變得可行。用于解決數值問題的變分公式可以追溯到 19 世紀末至 20 世紀頭十年的瑞利勛爵和里茲勛爵的著作。

介紹

數值求解一組偏微分方程 (PDE) 的第一步是方程的離散化和問題域的離散化。如前所述，一次解決整個問題域是不可能的，而解決問題域的多個小部分則完全沒問題。方程離散化過程與有限差分法、有限體積法（FVM）和有限元法等方法有關，其目的是將方程取為連續形式，生成代數差分方程組。域離散化過程生成一組離散單元，因此生成覆蓋連續問題域的點或節點。

根據定義，網格是連接形成網絡時的一組點和單元。這個網絡可以有多種形式的幾何和拓撲，這將在后面討論。通常，網格也稱為網格，這通常與網格的內在組織和/或當這些網格與有限差分問題相關時。

網格的每個單元或節點都將保存方程的局部解，具體取決于方程是否在單元或節點上離散化。離散化的選擇是一個項目決策。

通常，當使用有限差分法逼近方程時，會使用點離散化，其中 PDE 通常通過每個點的鄰域處的泰勒級數展開來逼近。有時點離散化可以與有限體積法一起使用，但是，單元將隱式地用于點周圍。

當要離散化的方程以弱形式、積分形式或保守形式考慮時，通常在離散單元上求解積分。例如，在考慮輸運現象時，可以將有限體積法表示為代表小體積的離散單元。然后，可以通過這些單元平衡通量，同時假設溶液在它們內部是恒定的。

電池解決方案示例。
請注意，在為一個完整的單元格求解方程式時，單元格中的值是如何保持不變的。

網格類型

通常將網格類型分類為 結構化 （曲線）或 非結構化 . 如前所述，結構化網格在歷史上與有限差分法相關。有限體積和有限元方法允許更一般的網格。

結構化網格

結構化網格，通常也稱為網格，是一種網格，其結構和形式允許輕松識別相鄰單元格和點。此屬性源自以下事實：結構化網格應用于分析坐標系（矩形、橢圓形、球形等），形成規則網格。

從編程的角度來看，可以枚舉形成結構化網格的單元或點，以便可以根據單元或點坐標分析地進行相鄰查詢。

考慮下圖中的網格。枚舉它的第一個單元格，以及前四個左右邊界單元格。該網格是矩形網格的示例。為了說明獲取小區鄰接的難易程度，很明顯，要從任何小區獲取正確的鄰接，問題就簡化為對它的枚舉求和。類似地，任何單元格的頂部鄰接都是通過將九加到單元格枚舉中獲得的。這允許將每個網格元素直接映射到數組或向量，從而使計算更容易。

任何曲線網格都可以映射到這樣的坐標和相鄰系統。因此，從編程的角度來看，曲線網格和矩形網格在鄰接查詢方面幾乎沒有區別。

構化網格也可以根據邊界擬合來定義。例如，笛卡爾網格適合矩形的邊界，圓柱網格適合圓柱體的邊界?？梢曰旌线吔鐢M合并使用許多不同的曲線或曲面來定義邊界。這些包括任何類型的可參數化曲線和曲面，例如樣條和 NURBS（非均勻有理基樣條）?？紤]到應為每條曲線或曲面創建多少個點，網格劃分算法將決定點將如何分布在這些曲面上，以及相對曲面將如何相互連接。

非結構化網格

非結構化網格更通用，可以任意逼近任何幾何形狀。與坐標和連接映射到矩陣元素的結構化網格相比，非結構化網格需要特殊的數據結構，例如鄰接矩陣或列表以及節點坐標列表。非結構化網格節點/單元編號可以是任意的和稀疏的，因為它不需要任何分析形式的鄰接查詢。

無法在其中生成結構化網格的復雜幾何形狀可以使用非結構化網格劃分技術進行離散化。非結構化網格的靈活性允許在同一網格中使用和共存各種單元類型，從而可以實現更好的幾何擬合和整體元素質量。

細胞類型可以分為二維細胞和三維細胞。常見的二維細胞類型是三角形和四邊形。常見的 3 維細胞類型是四面體和六面體，但也可能包括金字塔和楔形。這些單元類型形成有時稱為 有限元動物園的單元 ，因為這些單元類型通常用于有限元方案。眾所周知，有限體積方案在使用的單元類型方面更加靈活，有時允許任何類型的多邊形和多面體。

常見的二維和三維單元類型。所有類型都是自然非結構化的，而四邊形和六面體可以是結構化網格的一部分

網格單元不需要保形。不一致的網格是出現懸掛節點的網格。這些節點在網格自適應過程中更常見。

網格適配

由于在非結構化網格上，點和鄰接點不遵循任何類型的全局結構，因此也可以添加或刪除網格單元和點。動態添加、刪除或移動網格單元和點的過程稱為 網格自適應。

根據問題的性質，需要網格自適應技術來獲得準確的解場，同時通過控制網格單元和節點的總數來保持較低的計算成本。通常，所需的細化程度與誤差相關，誤差是根據要求解的方程估計的。因此，誤差較高的區域最終會累積更多的網格單元。

網格細化分為幾種通用類型。最常見的是，這些類型被稱為 h 型、r 型、p 型、去定義以及它們的組合。

網格細化，也稱為 h 型細化，是基于單元格或點的添加，減少邊緣的局部特征長度。這種技術可以廉價地增加局部網格分辨率，但也會增加要求解的聯立差分方程的數量，因為它增加了系統的自由度。

在非結構化網格上，添加單元或點很簡單，因為它涉及重新連接修改后的單元。結構化網格的細化并不簡單，因為添加單元可能會破壞網格規則。在使用自適應結構化網格時，允許不一致的網格是很常見的。

使用速石產品的網格細化示例，顯示了更精細的邊緣離散化，這將允許捕獲更精確的模擬變量值

類似地，網格細化技術通常允許網格去細化，這可用于減少估計誤差非常低的區域中的單元數。這允許更有效地使用計算能力，從而降低成本和模擬時間。

網格運動

網格移動或 r 型細化是通過網格單元和點的移動或位移完成的。在這種情況下，單元格和點的數量保持不變，同時有時也保持連接相同。

下面描述了一個 r 型網格細化過程的示例，該過程可能與沖擊波傳播問題有關，例如，在解的高變化區域中網格分辨率保持較高。

其他網格自適應技術

其他常見的網格自適應技術可能包括 p 型細化和自適應重新網格化。在與有限元方法相關的 p 型細化上，形狀函數的復雜性增加，同時保持相同的網格。自適應重新網格劃分技術用于根據估計誤差生成新網格。這樣可以獲得最佳的整體網格質量，并且可以使用更少的點。另一方面，網格創建的開銷可能很大。可以在局部使用自適應重新網格化，僅在估計誤差過高或過低的區域生成新網格。

可以使用上述技術的組合。例如，r 型和 h 型細化的組合可以稱為 rh 型細化，其中節點可以在網格上移動或創建。

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