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根據(jù)定義，網(wǎng)格是由單元格和點(diǎn)組成的網(wǎng)絡(luò)。它幾乎可以有任何大小的任何形狀，用于求解偏微分方程。網(wǎng)格的每個(gè)單元格代表方程的一個(gè)單獨(dú)解，當(dāng)對(duì)整個(gè)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行組合時(shí)，會(huì)產(chǎn)生整個(gè)網(wǎng)格的解。

由于對(duì)象內(nèi)部的復(fù)雜性，解決整個(gè)對(duì)象而不將其分成更小的部分是不可能的。孔、角和角會(huì)使解算器極難獲得解。另一方面，小蜂窩相對(duì)容易解決，因此是首選策略。

歷史簡(jiǎn)介

網(wǎng)格和網(wǎng)格劃分技術(shù)的歷史與數(shù)值方法的歷史密切相關(guān)。Courant、Friedrichs 和 Lewy 的論文可以說(shuō)是有限差分法 (FDM) 的基本起點(diǎn)，其中引入了 CFL（Courant-Friedrichs-Lewy）穩(wěn)定性條件等概念。

從歷史上看，矩形和笛卡爾網(wǎng)格與有限差分相關(guān)聯(lián)，因?yàn)樗蕾囉谙噜彽膯卧窈凸?jié)點(diǎn)來(lái)近似變量的行為。然而，有限元方法 (FEM) 允許使用混合類型的網(wǎng)格單元，從而使非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格變得可行。用于解決數(shù)值問(wèn)題的變分公式可以追溯到 19 世紀(jì)末至 20 世紀(jì)頭十年的瑞利勛爵和里茲勛爵的著作。

介紹

數(shù)值求解一組偏微分方程 (PDE) 的第一步是方程的離散化和問(wèn)題域的離散化。如前所述，一次解決整個(gè)問(wèn)題域是不可能的，而解決問(wèn)題域的多個(gè)小部分則完全沒問(wèn)題。方程離散化過(guò)程與有限差分法、有限體積法（FVM）和有限元法等方法有關(guān)，其目的是將方程取為連續(xù)形式，生成代數(shù)差分方程組。域離散化過(guò)程生成一組離散單元，因此生成覆蓋連續(xù)問(wèn)題域的點(diǎn)或節(jié)點(diǎn)。

正方形域離散化示例，其中每個(gè)小正方形表示一個(gè)單元及其頂點(diǎn)節(jié)點(diǎn)

根據(jù)定義，網(wǎng)格是連接形成網(wǎng)絡(luò)時(shí)的一組點(diǎn)和單元。這個(gè)網(wǎng)絡(luò)可以有多種形式的幾何和拓?fù)洌@將在后面討論。通常，網(wǎng)格也稱為網(wǎng)格，這通常與網(wǎng)格的內(nèi)在組織和/或當(dāng)這些網(wǎng)格與有限差分問(wèn)題相關(guān)時(shí)。

網(wǎng)格的每個(gè)單元或節(jié)點(diǎn)都將保存方程的局部解，具體取決于方程是否在單元或節(jié)點(diǎn)上離散化。離散化的選擇是一個(gè)項(xiàng)目決策。

通常，當(dāng)使用有限差分法逼近方程時(shí)，會(huì)使用點(diǎn)離散化，其中 PDE 通常通過(guò)每個(gè)點(diǎn)的鄰域處的泰勒級(jí)數(shù)展開來(lái)逼近。有時(shí)點(diǎn)離散化可以與有限體積法一起使用，但是，單元將隱式地用于點(diǎn)周圍。

當(dāng)要離散化的方程以弱形式、積分形式或保守形式考慮時(shí)，通常在離散單元上求解積分。例如，在考慮輸運(yùn)現(xiàn)象時(shí)，可以將有限體積法表示為代表小體積的離散單元。然后，可以通過(guò)這些單元平衡通量，同時(shí)假設(shè)溶液在它們內(nèi)部是恒定的。

電池解決方案示例。
請(qǐng)注意，在為一個(gè)完整的單元格求解方程式時(shí)，單元格中的值是如何保持不變的。

網(wǎng)格類型

通常將網(wǎng)格類型分類為 結(jié)構(gòu)化 （曲線）或 非結(jié)構(gòu)化 . 如前所述，結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格在歷史上與有限差分法相關(guān)。有限體積和有限元方法允許更一般的網(wǎng)格。

結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格

結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，通常也稱為網(wǎng)格，是一種網(wǎng)格，其結(jié)構(gòu)和形式允許輕松識(shí)別相鄰單元格和點(diǎn)。此屬性源自以下事實(shí)：結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格應(yīng)用于分析坐標(biāo)系（矩形、橢圓形、球形等），形成規(guī)則網(wǎng)格。

從編程的角度來(lái)看，可以枚舉形成結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格的單元或點(diǎn)，以便可以根據(jù)單元或點(diǎn)坐標(biāo)分析地進(jìn)行相鄰查詢。

考慮下圖中的網(wǎng)格。枚舉它的第一個(gè)單元格，以及前四個(gè)左右邊界單元格。該網(wǎng)格是矩形網(wǎng)格的示例。為了說(shuō)明獲取小區(qū)鄰接的難易程度，很明顯，要從任何小區(qū)獲取正確的鄰接，問(wèn)題就簡(jiǎn)化為對(duì)它的枚舉求和。類似地，任何單元格的頂部鄰接都是通過(guò)將九加到單元格枚舉中獲得的。這允許將每個(gè)網(wǎng)格元素直接映射到數(shù)組或向量，從而使計(jì)算更容易。

網(wǎng)格枚舉示例演示了結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格單元之間的通信是如何進(jìn)行的，從而簡(jiǎn)化了模擬

任何曲線網(wǎng)格都可以映射到這樣的坐標(biāo)和相鄰系統(tǒng)。因此，從編程的角度來(lái)看，曲線網(wǎng)格和矩形網(wǎng)格在鄰接查詢方面幾乎沒有區(qū)別。

構(gòu)化網(wǎng)格也可以根據(jù)邊界擬合來(lái)定義。例如，笛卡爾網(wǎng)格適合矩形的邊界，圓柱網(wǎng)格適合圓柱體的邊界。可以混合邊界擬合并使用許多不同的曲線或曲面來(lái)定義邊界。這些包括任何類型的可參數(shù)化曲線和曲面，例如樣條和 NURBS（非均勻有理基樣條）。考慮到應(yīng)為每條曲線或曲面創(chuàng)建多少個(gè)點(diǎn)，網(wǎng)格劃分算法將決定點(diǎn)將如何分布在這些曲面上，以及相對(duì)曲面將如何相互連接。

四個(gè)任意樣條邊界的結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格在這里是可能的，因?yàn)樗鼈兛梢栽谛畔⒅袇?shù)化

非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格

非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格更通用，可以任意逼近任何幾何形狀。與坐標(biāo)和連接映射到矩陣元素的結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格相比，非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格需要特殊的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，例如鄰接矩陣或列表以及節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)列表。非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)/單元編號(hào)可以是任意的和稀疏的，因?yàn)樗恍枰魏畏治鲂问降泥徑硬樵儭?/p>

無(wú)法在其中生成結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格的復(fù)雜幾何形狀可以使用非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格劃分技術(shù)進(jìn)行離散化。非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格的靈活性允許在同一網(wǎng)格中使用和共存各種單元類型，從而可以實(shí)現(xiàn)更好的幾何擬合和整體元素質(zhì)量。

細(xì)胞類型可以分為二維細(xì)胞和三維細(xì)胞。常見的二維細(xì)胞類型是三角形和四邊形。常見的 3 維細(xì)胞類型是四面體和六面體，但也可能包括金字塔和楔形。這些單元類型形成有時(shí)稱為 有限元?jiǎng)游飯@的單元 ，因?yàn)檫@些單元類型通常用于有限元方案。眾所周知，有限體積方案在使用的單元類型方面更加靈活，有時(shí)允許任何類型的多邊形和多面體。

常見的二維和三維單元類型。所有類型都是自然非結(jié)構(gòu)化的，而四邊形和六面體可以是結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格的一部分

網(wǎng)格單元不需要保形。不一致的網(wǎng)格是出現(xiàn)懸掛節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)格。這些節(jié)點(diǎn)在網(wǎng)格自適應(yīng)過(guò)程中更常見。

具有懸掛節(jié)點(diǎn)的尺寸網(wǎng)格。這些在動(dòng)態(tài)嚙合過(guò)程中是常見的，其根據(jù)流量梯度而變化

網(wǎng)格適配

由于在非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格上，點(diǎn)和鄰接點(diǎn)不遵循任何類型的全局結(jié)構(gòu)，因此也可以添加或刪除網(wǎng)格單元和點(diǎn)。動(dòng)態(tài)添加、刪除或移動(dòng)網(wǎng)格單元和點(diǎn)的過(guò)程稱為 網(wǎng)格自適應(yīng)。

根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)，需要網(wǎng)格自適應(yīng)技術(shù)來(lái)獲得準(zhǔn)確的解場(chǎng)，同時(shí)通過(guò)控制網(wǎng)格單元和節(jié)點(diǎn)的總數(shù)來(lái)保持較低的計(jì)算成本。通常，所需的細(xì)化程度與誤差相關(guān)，誤差是根據(jù)要求解的方程估計(jì)的。因此，誤差較高的區(qū)域最終會(huì)累積更多的網(wǎng)格單元。

網(wǎng)格細(xì)化分為幾種通用類型。最常見的是，這些類型被稱為 h 型、r 型、p 型、去定義以及它們的組合。

網(wǎng)格細(xì)化，也稱為 h 型細(xì)化，是基于單元格或點(diǎn)的添加，減少邊緣的局部特征長(zhǎng)度。這種技術(shù)可以廉價(jià)地增加局部網(wǎng)格分辨率，但也會(huì)增加要求解的聯(lián)立差分方程的數(shù)量，因?yàn)樗黾恿讼到y(tǒng)的自由度。

在非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格上，添加單元或點(diǎn)很簡(jiǎn)單，因?yàn)樗婕爸匦逻B接修改后的單元。結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格的細(xì)化并不簡(jiǎn)單，因?yàn)樘砑訂卧赡軙?huì)破壞網(wǎng)格規(guī)則。在使用自適應(yīng)結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格時(shí)，允許不一致的網(wǎng)格是很常見的。

h型網(wǎng)格細(xì)化示例，其中總面積（或體積）保持不變，但節(jié)點(diǎn)數(shù)量增加

使用速石產(chǎn)品的網(wǎng)格細(xì)化示例，顯示了更精細(xì)的邊緣離散化，這將允許捕獲更精確的模擬變量值

類似地，網(wǎng)格細(xì)化技術(shù)通常允許網(wǎng)格去細(xì)化，這可用于減少估計(jì)誤差非常低的區(qū)域中的單元數(shù)。這允許更有效地使用計(jì)算能力，從而降低成本和模擬時(shí)間。

網(wǎng)格運(yùn)動(dòng)

網(wǎng)格移動(dòng)或 r 型細(xì)化是通過(guò)網(wǎng)格單元和點(diǎn)的移動(dòng)或位移完成的。在這種情況下，單元格和點(diǎn)的數(shù)量保持不變，同時(shí)有時(shí)也保持連接相同。

下面描述了一個(gè) r 型網(wǎng)格細(xì)化過(guò)程的示例，該過(guò)程可能與沖擊波傳播問(wèn)題有關(guān)，例如，在解的高變化區(qū)域中網(wǎng)格分辨率保持較高。

r 型網(wǎng)格細(xì)化示例，其中總面積（或體積）隨著節(jié)點(diǎn)數(shù)量的增加而保持不變。

其他網(wǎng)格自適應(yīng)技術(shù)

其他常見的網(wǎng)格自適應(yīng)技術(shù)可能包括 p 型細(xì)化和自適應(yīng)重新網(wǎng)格化。在與有限元方法相關(guān)的 p 型細(xì)化上，形狀函數(shù)的復(fù)雜性增加，同時(shí)保持相同的網(wǎng)格。自適應(yīng)重新網(wǎng)格劃分技術(shù)用于根據(jù)估計(jì)誤差生成新網(wǎng)格。這樣可以獲得最佳的整體網(wǎng)格質(zhì)量，并且可以使用更少的點(diǎn)。另一方面，網(wǎng)格創(chuàng)建的開銷可能很大。可以在局部使用自適應(yīng)重新網(wǎng)格化，僅在估計(jì)誤差過(guò)高或過(guò)低的區(qū)域生成新網(wǎng)格。

可以使用上述技術(shù)的組合。例如，r 型和 h 型細(xì)化的組合可以稱為 rh 型細(xì)化，其中節(jié)點(diǎn)可以在網(wǎng)格上移動(dòng)或創(chuàng)建。

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